4. 弾性論概説

ここではtensor微分を、任意の直線正規直交基底$ \sf E=\{\bm e_i\} を用いて$ \frac{\partial}{\partial\bm T}=\bm e_i\bm e_j\frac{\partial}{\partial[\bm T]^{\sf EE}_{ij}} と表すことにしておく

2024-05-01 21:55:47 任意基底での定義はまだ悩み中takker.icon

例6.1 Saint-Venant-Kirchhoffモデル

$ \Psi:\bm E\mapsto\frac12\lambda({\rm tr}\bm E)^2+\mu\bm E:\bm E

$ \bm S=\frac{\partial\Psi}{\partial\bm E}=\lambda({\rm tr}\bm E)\bm I+2\mu\bm E

$ {\cal\pmb C}=\frac{\partial\bm S}{\partial\bm E}

$ =\frac{\partial}{\partial\bm E}\left(\lambda({\rm tr}\bm E)\bm I+2\mu{\cal\pmb S}:\bm E\right)

$ =\lambda\bm I\bm I+2\mu{\cal\pmb S}:{\cal\pmb I}

これは、線型等方弾性体の弾性tensorに等しい

6.3.2 空間表示の弾性tensor

$ \bm\sigmaを求めることもできるが、式が複雑になるので速度形でもとめる

と書いてあったtakker.icon

$ \dot\bm S={\cal\pmb C}:\dot\bm E

$ \implies\bm F\cdot\dot\bm S\cdot\bm F^\top=\bm F\cdot({\cal\pmb C}:\dot\bm E)\cdot\bm F^\top

$ \iff\left.\bm\tau^\circ\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}=\bm F\cdot({\cal\pmb C}:(\bm F^\top\cdot\left.\bm d\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\cdot\bm F))\cdot\bm F^\top

$ \bm\tau^\circ:=\left.(\bm F\cdot\dot\bm S\cdot\bm F^\top)\right|_{\bm X=\bm\phi^{-1}(\bm x,t)}：Kirchhoff応力tensorのTruesdell速度

$ \dot{\bm E}=\frac12\dot{\bm C}=\bm F^\top\cdot\left.\bm d\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\cdot\bm F

$ \bm d：変形速度tensor

$ \iff\left.\bm\tau^\circ\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}=\left([\bm F]^{\sf E\bar E}_{iI}[\bm F]^{\sf E\bar E}_{jJ}[\bm F]^{\sf E\bar E}_{kK}[\bm F]^{\sf E\bar E}_{lL}[{\cal\pmb C}]^{\sf EEEE}_{IJKL}\bar\bm e_i\bar\bm e_j\bar\bm e_k\bar\bm e_l\right):\left.\bm d\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}

$ \iff\bm\tau^\circ=\bm c:\bm d

$ \bm c:=\left.[\bm F]^{\sf E\bar E}_{iI}[\bm F]^{\sf E\bar E}_{jJ}[\bm F]^{\sf E\bar E}_{kK}[\bm F]^{\sf E\bar E}_{lL}[{\cal\pmb C}]^{\sf EEEE}_{IJKL}\bar\bm e_i\bar\bm e_j\bar\bm e_k\bar\bm e_l\right|_{\bm X=\bm\phi^{-1}(\bm x,t)} ：空間表示の弾性tensor

もしくは$ \bm c:=\left.(\bm F\cdot\bar\bm e_I)(\bm F\cdot\bar\bm e_J)(\bm F\cdot\bar\bm e_K)(\bm F\cdot\bar\bm e_L){\cal\pmb C}::\bm e_I\bm e_J\bm e_K\bm e_L\right|_{\bm X=\bm\phi^{-1}(\bm x,t)}

テキストのcの書体を再現できない

\mathcalの小文字はないのか？

等方超弾性体

ひずみエネルギ密度$ \Psiが$ \bm Cの不変量のみで表される

$ \Psi(\bm C(\bm X),\bm X)=\Psi^*(I_{\bm C(\bm X)},I\!I_{\bm C(\bm X)},I\!I\!I_{\bm C(\bm X)},\bm X)

このときの$ \bm Sを求める

$ \bm S=2\frac{\partial\Psi}{\partial\bm C}

$ =2\frac{\partial\Psi^*}{\partial I_{\bm C}}\bm I+2\frac{\partial\Psi^*}{\partial I\!I_{\bm C}}(I_{\bm C}\bm I-\bm C^\top)+2\frac{\partial\Psi^*}{\partial I\!I\!I_{\bm C}}I\!I\!I_{\bm C}{\bm C^\top}^{-1}

2階tensorの不変量の微分を使う

第2不変量$ I\!I_{\bm C}はテキストとは定義を変えているので注意

固有方程式の係数のほうを採用

$ =2\frac{\partial\Psi^*}{\partial I_{\bm C}}\bm I+2\frac{\partial\Psi^*}{\partial I\!I_{\bm C}}(I_{\bm C}\bm I-\bm C)+2\frac{\partial\Psi^*}{\partial I\!I\!I_{\bm C}}J^2\bm C^{-1}

$ \because\bm C^\top=\bm C,\det\bm C=\det(\bm F^\top\cdot\bm F)=(\det\bm F)^2=J^2

物質表示の弾性tensorを求める

$ {\cal\pmb C}=2\frac{\partial\bm S}{\partial\bm C}

$ =4\frac{\partial^2\Psi^*}{{\partial I_{\bm C}}^2}\bm I\bm I+4\frac{\partial^2\Psi^*}{{\partial I\!I_{\bm C}}^2}(I_{\bm C}\bm I\bm I-\bm I\bm C)+4\frac{\partial\Psi^*}{\partial I\!I_{\bm C}}(\bm I\bm I-{\cal\pmb I})+4\frac{\partial^2\Psi^*}{{\partial I\!I\!I_{\bm C}}^2}J^4\bm C^{-1}\bm C^{-1}+4\frac{\partial\Psi^*}{\partial I\!I\!I_{\bm C}}J^2\bm C^{-1}\bm C^{-1}-4\frac{\partial\Psi^*}{\partial I\!I\!I_{\bm C}}J^2\bm *\bm C^{-1}

$ \bm *は$ C^{-1}_{ik}C^{-1}_{jl}\bm e_i\bm e_j\bm e_k\bm e_lのようなtensorが入る

bold表記だと記述しようがない……

bold記法で添字の順番を入れ替える演算子がほしい

$ \bm\sigmaを求める

$ \bm\sigma=\left.J^{-1}\bm F\cdot\bm S\cdot\bm F^\top\right|_{\bm X=\bm\phi^{-1}(\bm x,t)}

$ = \left.2J^{-1}\frac{\partial\Psi^*}{\partial I_{\bm C}}\bm b+2J^{-1}\frac{\partial\Psi^*}{\partial I\!I_{\bm C}}(I_{\bm C}\bm b-\bm b^2)+2\frac{\partial\Psi^*}{\partial I\!I\!I_{\bm C}}J\bm I\right|_{\bm X=\bm\phi^{-1}(\bm x,t)}

$ = \left.2J^{-1}\frac{\partial\Psi^*}{\partial I_{\bm b}}\bm b+2J^{-1}\frac{\partial\Psi^*}{\partial I\!I_{\bm b}}(I_{\bm b}\bm I-\bm b)\cdot\bm b+2J^{-1}\frac{\partial\Psi^*}{\partial I\!I\!I_{\bm b}}I\!I\!I_{\bm b}\bm b^{-1}\cdot\bm b\right|_{\bm X=\bm\phi^{-1}(\bm x,t)}

$ \because\left.I_{\bm b}\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}=I_{\bm C},\left.I\!I_{\bm b}\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}=I\!I_{\bm C},\left.I\!I\!I_{\bm b}\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}=I\!I\!I_{\bm C}

$ = 2\left.J^{-1}\right|_{\bm X=\bm\phi^{-1}(\bm x,t)}\frac{\partial\psi}{\partial\bm b}\cdot\bm b

ここで、$ \psi(\bm b(\bm x),\bm x):=\Psi^*(I_{\bm b(\bm x)},I\!I_{\bm b(\bm x)},I\!I\!I_{\bm b(\bm x)},\bm\phi^{-1}(\bm x,t))とした

$ \therefore\bm\tau=2\frac{\partial\psi}{\partial\bm b}\cdot\bm b

具体例

圧縮性neo-Hookeモデル

等方弾性体の弾性係数を使って表される等方超弾性体

$ \Psi=\frac12\mu(I_{\bm C}-I_{\bm I})-2\mu\ln I\!I\!I_{\bm C}+2\lambda(\ln I\!I\!I_{\bm C})^2

変形がない($ \bm C=\bm I)ときひずみエネルギが0になる

from 『連続体の力学序説』

微小変形理論でのひずみエネルギを求める

4.2 ひずみエネルギー

領域$ Bに蓄えられるひずみエネルギの時間変化率を$ \frac{\mathrm DW}{\mathrm Dt}とする

$ \frac{\mathrm DW}{\mathrm Dt}=\int_{\partial B}\bm v\cdot\bm\sigma\cdot\mathrm d\bm s+\int_B\bm v\cdot\bm K\mathrm dv

$ = \int_B(\bm\nabla\cdot(\bm v\cdot\bm\sigma)+\bm v\cdot\bm K)\mathrm dv

$ = \int_B((\bm\nabla\cdot\bm\sigma^\top)\cdot\bm v+\bm\sigma^\top:\bm\nabla v+\bm v\cdot\bm K)\mathrm dv

$ \because∇∙(T∙A)=(∇∙T)∙A+T:(∇A)

$ = \int_B((\bm\nabla\cdot\bm\sigma^\top)\cdot\bm v+\bm\sigma^\top:\bm\nabla v+\bm v\cdot\bm K)\mathrm dv

$ =\int_B((\bm\nabla\cdot\bm\sigma+\bm K)\cdot\bm v+\bm\sigma:\bm\nabla v)\mathrm dv

$ \because \bm\sigma^\top=\bm\sigma

$ \bm l:=\bm\nabla\bm v：速度勾配tensor

$ =\int_B\left(\rho\frac{\mathrm D\bm v}{\mathrm Dt}\cdot\bm v+\bm\sigma:\bm\nabla v\right)\mathrm dv

$ \because連続体の運動方程式

$ =\int_B\left(\rho\frac{\mathrm D\bm v}{\mathrm Dt}\cdot\bm v+\bm\sigma:\bm d\right)\mathrm dv

$ \because \sigma^\top=\sigma\implies\bm\sigma:\bm\nabla v=\bm\sigma:{\cal\pmb S}:\bm\nabla\bm v=\bm\sigma:\bm d

$ \bm d：変形速度tensor

$ =\int_B\left(\rho\frac{\mathrm D}{\mathrm Dt}\left(\frac12|\bm v|^2\right)+\bm\sigma:\bm d\right)\mathrm dv

この式展開は仮想仕事式 (連続体力学)と似ているtakker.icon

力の釣り合いが保たれているとすると

$ \frac{\mathrm DW}{\mathrm Dt}=\int_B\bm\sigma:\bm d\mathrm dv

右辺は内部仮想仕事率に相当する

ここで、$ \mathrm D'w:=\bm\sigma:\mathrm D\bm\varepsilonとする

変形速度tensorでどう表現すればいいかわからなくなってしまったため、微小ひずみtensorにしれっと戻してしまった

微小変形の仮定の下なら多分$ \dot\bm\varepsilon\simeq\bm dとしていい……はず

これが完全微分のとき

$ \bm\sigma=\frac{\partial w}{\partial\bm\varepsilon}

が成り立つ。$ wをひずみエネルギ密度と呼ぶ

線型弾性体$ \bm\sigma={\cal\pmb C}:\bm\varepsilonのときはとくに$ wを弾性potentialと呼ぶこともある

線型弾性体の$ wは以下となる

$ w=\frac12\bm\varepsilon:{\cal\pmb C}:\bm\varepsilon

このとき$ {\cal\pmb C}^\top={\cal\pmb C}であっても問題ない

必要十分条件を証明する方法はよくわからなかったtakker.icon

$ \mathrm D\bm\sigma:\bm\varepsilon=\mathrm D'w+\bm\varepsilon:\mathrm D\bm\sigma

$ =:\mathrm D'w+\mathrm D'\bar w

$ \bar wが存在する場合は、それを補ひずみエネルギ密度と呼ぶ

線型弾性体の場合は存在し、$ w=\bar wが成立する

等方弾性体の$ wを等方-偏差分解する

$ \bm\sigma:\bm\varepsilon=\left(\left({\cal\pmb D}+\frac13\bm I\bm I\right):\bm\sigma\right):\left(\left({\cal\pmb D}+\frac13\bm I\bm I\right):\bm\varepsilon\right)

$ = ({\cal\pmb D}:\bm\sigma):({\cal\pmb D}:\bm\varepsilon)+\frac13({\rm tr}\bm\sigma)({\rm tr}\bm\varepsilon)

$ \because{\cal\pmb D}:\bm I=\bm O

$ = 2G({\cal\pmb D}:\bm\varepsilon):({\cal\pmb D}:\bm\varepsilon)+K({\rm tr}\bm\varepsilon)^2

$ \therefore w=\frac12K({\rm tr}\bm\varepsilon)+G({\cal\pmb D}:\bm\varepsilon):({\cal\pmb D}:\bm\varepsilon)

$ =:w_e+w_s

$ w_e：体積ひずみエネルギ密度

$ w_s：剪断ひずみエネルギ密度

等方ひずみエネルギ密度と偏差ひずみエネルギ密度のほうが実態にあっていると思うtakker.icon

$ w_sは偏差第2不変量$ J\!J_{\bm\sigma}で表せる

$ w_s=\frac14\frac1G({\cal\pmb D}:\bm\sigma):({\cal\pmb D}:\bm\sigma)

$ =-\frac12\frac1GJ\!J_{\bm\sigma}

$ = \frac34\frac1G{\tau_{oct}}^2

$ \tau_{oct}：八面体剪断応力

$ = \frac16\frac1G{\bar\sigma}^2

$ \bar\sigma：Misesの相当応力

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