4. 弾性論概説
from 連続体力学メモ
4. 弾性論概説
弾性体の構成則
弾性体中の物質点$ \bm{X}に働く応力は、一般に↓で表せる
$ (\bm{F},\bm{X})\mapsto\bm{P}
$ \bm{F}：変形勾配tensor
連続体の不均質性を考慮して、$ \bm{X}もparametersに入れた
$ \bm{F}は初期配置の函数だから、更に一般に$ (\bm{X},t)\mapsto\bm{P}であるとも言える
一般に$ \bm{F}は経路依存
超弾性体
経路に依存しない弾性体を超弾性体と呼ぶ
$ \bm{F}が初期配置と現配置の情報のみに依存している
このとき弾性potential$ \Psiを定義できる
超弾性体の定義方法は複数ある
「弾性potential$ \Psiを定義できる弾性体」としてもいい
表記揺れ
貯蔵ひずみエネルギ(stored strain energy)『非線形有限要素法のための連続体力学(第2版)』p.172
ひずみエネルギ密度
$ \dot{\Psi}は初期配置(変形前)の単位体積あたりの内部仕事率と等しい(ここ飛躍あるtakker.icon)から、$ \dot{\Psi}=\bm{P}:\dot{\bm{F}}となる
$ \bm{P}：第1Piola-Kirchhoff応力tensor
これを$ \bm{P}=\frac{\partial\Psi}{\partial\bm{F}}と表し、これを超弾性体の定義とすることもある
導出
$ \bm{P}:\dot{\bm{F}}=\dot{\Psi}=\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\bm{F}(\bm{X},t),\bm{X})=\frac{\partial\Psi}{\partial\bm{F}}:\dot{\bm{F}}
より、$ \bm{P}=\frac{\partial\Psi}{\partial\bm{F}}だとみなせる
tensor微分の厳密な定義には、ここでは立ち入らないことにするtakker.icon
保存力$ \bm{F}=-\bm{\nabla}\phiの存在で位置エネルギを定義するのと一緒takker.icon
$ \dot{\Psi}は初期配置(変形前)で仕事共役となる応力と変形量の組み合わせならどれでもいい
$ \dot{\Psi}=\left.\bm{\tau}:\bm{d}\right|_{\bm{x}=\bm{\phi}(\bm{X},t)}
$ \bm{\tau}：Kirchhoff応力tensor
$ \bm{d}：変形速度tensor
$ = \bm{P}:\dot{\bm{F}}
$ =\bm{S}:\dot{\bm{E}}
$ \bm{S}：第2Piola-Kirchhoff応力tensor
$ \dot{\bm{E}}：物質ひずみtensor
$ \bm=\bm{T}:\dot{\bm{U}}
$ \bm{T}：Biot応力tenosr
変形しない限りpotentialは変化しないので(客観性の原理)、$ \Psiはひずみ変形(剛体運動を除いた変形)の函数で定義できる
剛体運動を除いた変形をなんて呼べばいいかわからないtakker.icon
有限ひずみでいいのか？
以降は扱いやすさの観点から$ \Psiを右Cauchy-Green変形tensor$ \bm{C}と$ \bm{X}の函数として取り扱う
$ \Psiの種々の関係
$ \dot{\Psi}=\frac12\bm{S}:\dot{\bm{E}}
$ \because\dot{\bm{E}}=\frac12\dot{\bm{C}}
$ \bm S=2\frac{\partial\Psi}{\partial\bm C}
物質表示の弾性tensor$ {\cal\pmb C}
$ \dot{\bm{S}}=\frac{\partial\bm{S}}{\partial\bm{E}}:\dot{\bm{E}}となる
この微分係数$ {\cal\pmb C}:=\frac{\partial\bm{S}}{\partial\bm{E}}を物質表示の弾性tensor(material elasticity tensor)と呼ぶ
$ {\cal\pmb C}=4\frac{\partial^2\Psi}{{\partial\bm C}^2}
$ \dot{\bm{S}}={\cal\pmb C}:\dot{\bm{E}}
例6.1 Saint-Venant-Kirchhoffモデル
$ \Psi:\bm E\mapsto\frac12\lambda({\rm tr}\bm E)^2+\mu\bm E:\bm E
$ \bm S=\frac{\partial\Psi}{\partial\bm E}=\lambda({\rm tr}\bm E)\bm I+2\mu\bm E
$ {\cal\pmb C}=\frac{\partial\bm S}{\partial\bm E}
$ =\frac{\partial}{\partial\bm E}\left(\lambda({\rm tr}\bm E)\bm I+2\mu{\cal\pmb S}:\bm E\right)
$ =\lambda\bm I\bm I+2\mu{\cal\pmb S}:{\cal\pmb I}
これは、線型等方弾性体の弾性tensorに等しい
6.3.2 空間表示の弾性tensor
$ \bm\sigmaを求めることもできるが、式が複雑になるので速度形でもとめる
と書いてあったtakker.icon
$ \dot{\bm{S}={\cal\pmb C}:\dot{\bm{E}
$ \implies\bm F\cdot\dot{\bm{S}}\cdot\bm F^\top=\bm F\cdot({\cal\pmb C}:\dot{\bm{E}})\cdot\bm F^\top
$ \iff\left.\bm\tau^\circ\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}=\bm F\cdot({\cal\pmb C}:(\bm F^\top\cdot\left.\bm d\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\cdot\bm F))\cdot\bm F^\top
左辺はKirchhoff応力tensorのTruesdell速度$ \bm\tau^\circ:=\left.(\bm F\cdot\dot{\bm{S}}\cdot\bm F^\top)\right|_{\bm X=\bm\phi^{-1}(\bm x,t)}を導入した
右辺は$ \dot{\bm E}=\bm F^\top\cdot\left.\bm d\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\cdot\bm Fを代入した
$ \iff\left.\bm\tau^\circ\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}=\left([\bm F]^{\sf E\bar E}_{iI}[\bm F]^{\sf E\bar E}_{jJ}[\bm F]^{\sf E\bar E}_{kK}[\bm F]^{\sf E\bar E}_{lL}[{\cal\pmb C}]^{\sf EEEE}_{IJKL}\bar{\bm e}_i\bar{\bm e}_j\bar{\bm e}_k\bar{\bm e}_l\right):\left.\bm d\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}
$ \iff\bm\tau^\circ=\bm c:\bm d
$ \bm c:=\left.[\bm F]^{\sf E\bar E}_{iI}[\bm F]^{\sf E\bar E}_{jJ}[\bm F]^{\sf E\bar E}_{kK}[\bm F]^{\sf E\bar E}_{lL}[{\cal\pmb C}]^{\sf EEEE}_{IJKL}\bar{\bm e}_i\bar{\bm e}_j\bar{\bm e}_k\bar{\bm e}_l\right|_{\bm X=\bm\phi^{-1}(\bm x,t)} ：空間表示の弾性tensor
もしくは$ \bm c:=\left.(\bm F\cdot\bar\bm e_I)(\bm F\cdot\bar\bm e_J)(\bm F\cdot\bar\bm e_K)(\bm F\cdot\bar\bm e_L){\cal\pmb C}::\bm e_I\bm e_J\bm e_K\bm e_L\right|_{\bm X=\bm\phi^{-1}(\bm x,t)}
テキストのcの書体を再現できないtakker.icon
\mathcalの小文字はないのか？
等方超弾性体
ひずみエネルギ密度$ \Psiが$ \bm Cの不変量のみで表される
$ \Psi(\bm C(\bm X),\bm X)=\Psi^*(I_{\bm C(\bm X)},I\!I_{\bm C(\bm X)},I\!I\!I_{\bm C(\bm X)},\bm X)
このときの$ \bm Sを求める
$ \bm S=2\frac{\partial\Psi}{\partial\bm C}
$ =2\frac{\partial\Psi^*}{\partial I_{\bm C}}\bm I+2\frac{\partial\Psi^*}{\partial I\!I_{\bm C}}(I_{\bm C}\bm I-\bm C^\top)+2\frac{\partial\Psi^*}{\partial I\!I\!I_{\bm C}}I\!I\!I_{\bm C}{\bm C^\top}^{-1}
2階tensorの不変量の微分を使う
第2不変量$ I\!I_{\bm C}はテキストとは定義を変えているので注意
固有方程式の係数のほうを採用
$ =2\frac{\partial\Psi^*}{\partial I_{\bm C}}\bm I+2\frac{\partial\Psi^*}{\partial I\!I_{\bm C}}(I_{\bm C}\bm I-\bm C)+2\frac{\partial\Psi^*}{\partial I\!I\!I_{\bm C}}J^2\bm C^{-1}
$ \because\bm C^\top=\bm C,\det\bm C=\det(\bm F^\top\cdot\bm F)=(\det\bm F)^2=J^2
物質表示の弾性tensorを求める
$ {\cal\pmb C}=2\frac{\partial\bm S}{\partial\bm C}
$ =4\frac{\partial^2\Psi^*}{{\partial I_{\bm C}}^2}\bm I\bm I+4\frac{\partial^2\Psi^*}{{\partial I\!I_{\bm C}}^2}(I_{\bm C}\bm I\bm I-\bm I\bm C)+4\frac{\partial\Psi^*}{\partial I\!I_{\bm C}}(\bm I\bm I-{\cal\pmb I})+4\frac{\partial^2\Psi^*}{{\partial I\!I\!I_{\bm C}}^2}J^4\bm C^{-1}\bm C^{-1}+4\frac{\partial\Psi^*}{\partial I\!I\!I_{\bm C}}J^2\bm C^{-1}\bm C^{-1}-4\frac{\partial\Psi^*}{\partial I\!I\!I_{\bm C}}J^2\bm *\bm C^{-1}
$ \bm *は$ C^{-1}_{ik}C^{-1}_{jl}\bm e_i\bm e_j\bm e_k\bm e_lのようなtensorが入る
bold表記だと記述しようがない……
bold記法で添字の順番を入れ替える演算子がほしい
$ \bm\sigmaを求める
$ \bm\sigma=\left.J^{-1}\bm F\cdot\bm S\cdot\bm F^\top\right|_{\bm X=\bm\phi^{-1}(\bm x,t)}
$ = \left.2J^{-1}\frac{\partial\Psi^*}{\partial I_{\bm C}}\bm b+2J^{-1}\frac{\partial\Psi^*}{\partial I\!I_{\bm C}}(I_{\bm C}\bm b-\bm b^2)+2\frac{\partial\Psi^*}{\partial I\!I\!I_{\bm C}}J\bm I\right|_{\bm X=\bm\phi^{-1}(\bm x,t)}
$ = \left.2J^{-1}\frac{\partial\Psi^*}{\partial I_{\bm b}}\bm b+2J^{-1}\frac{\partial\Psi^*}{\partial I\!I_{\bm b}}(I_{\bm b}\bm I-\bm b)\cdot\bm b+2J^{-1}\frac{\partial\Psi^*}{\partial I\!I\!I_{\bm b}}I\!I\!I_{\bm b}\bm b^{-1}\cdot\bm b\right|_{\bm X=\bm\phi^{-1}(\bm x,t)}
$ \because\left.I_{\bm b}\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}=I_{\bm C},\left.I\!I_{\bm b}\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}=I\!I_{\bm C},\left.I\!I\!I_{\bm b}\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}=I\!I\!I_{\bm C}
$ = 2\left.J^{-1}\right|_{\bm X=\bm\phi^{-1}(\bm x,t)}\frac{\partial\psi}{\partial\bm b}\cdot\bm b
ここで、$ \psi(\bm b(\bm x),\bm x):=\Psi^*(I_{\bm b(\bm x)},I\!I_{\bm b(\bm x)},I\!I\!I_{\bm b(\bm x)},\bm\phi^{-1}(\bm x,t))とした
$ \therefore\bm\tau=2\frac{\partial\psi}{\partial\bm b}\cdot\bm b
具体例
圧縮性neo-Hookeモデル
等方弾性体の弾性係数を使って表される等方超弾性体
$ \Psi=\frac12\mu(I_{\bm C}-I_{\bm I})-2\mu\ln I\!I\!I_{\bm C}+2\lambda(\ln I\!I\!I_{\bm C})^2
変形がない($ \bm C=\bm I)ときひずみエネルギが0になる
from 『連続体の力学序説』
微小変形理論でのひずみエネルギを求める
4.2 ひずみエネルギー
領域$ Bに蓄えられるひずみエネルギの時間変化率を$ \frac{\mathrm DW}{\mathrm Dt}とする
$ \frac{\mathrm DW}{\mathrm Dt}=\int_{\partial B}\bm v\cdot\bm\sigma\cdot\mathrm d\bm s+\int_B\bm v\cdot\bm K\mathrm dv
$ = \int_B(\bm\nabla\cdot(\bm v\cdot\bm\sigma)+\bm v\cdot\bm K)\mathrm dv
$ = \int_B((\bm\nabla\cdot\bm\sigma^\top)\cdot\bm v+\bm\sigma^\top:\bm\nabla v+\bm v\cdot\bm K)\mathrm dv
$ \because∇∙(T∙A)=(∇∙T)∙A+T:(∇A)
$ = \int_B((\bm\nabla\cdot\bm\sigma^\top)\cdot\bm v+\bm\sigma^\top:\bm\nabla v+\bm v\cdot\bm K)\mathrm dv
$ =\int_B((\bm\nabla\cdot\bm\sigma+\bm K)\cdot\bm v+\bm\sigma:\bm\nabla v)\mathrm dv
$ \because \bm\sigma^\top=\bm\sigma
$ \bm l:=\bm\nabla\bm v：速度勾配tensor
$ =\int_B\left(\rho\frac{\mathrm D\bm v}{\mathrm Dt}\cdot\bm v+\bm\sigma:\bm\nabla v\right)\mathrm dv
$ \because連続体の運動方程式
$ =\int_B\left(\rho\frac{\mathrm D\bm v}{\mathrm Dt}\cdot\bm v+\bm\sigma:\bm d\right)\mathrm dv
$ \because \sigma^\top=\sigma\implies\bm\sigma:\bm\nabla v=\bm\sigma:{\cal\pmb S}:\bm\nabla\bm v=\bm\sigma:\bm d
$ \bm d：変形速度tensor
$ =\int_B\left(\rho\frac{\mathrm D}{\mathrm Dt}\left(\frac12|\bm v|^2\right)+\bm\sigma:\bm d\right)\mathrm dv
この式展開は仮想仕事式 (連続体力学)と似ているtakker.icon
力の釣り合いが保たれているとすると
$ \frac{\mathrm DW}{\mathrm Dt}=\int_B\bm\sigma:\bm d\mathrm dv
右辺は内部仮想仕事率に相当する
ここで、$ \mathrm D'w:=\bm\sigma:\mathrm D\bm\varepsilonとする
変形速度tensorでどう表現すればいいかわからなくなってしまったため、微小ひずみtensorにしれっと戻してしまった
微小変形の仮定の下なら多分$ \dot\bm\varepsilon\simeq\bm dとしていい……はず
これが完全微分のとき
$ \bm\sigma=\frac{\partial w}{\partial\bm\varepsilon}
が成り立つ。$ wをひずみエネルギ密度と呼ぶ
線型弾性体$ \bm\sigma={\cal\pmb C}:\bm\varepsilonのときはとくに$ wを弾性potentialと呼ぶこともある
線型弾性体の$ wは以下となる
$ w=\frac12\bm\varepsilon:{\cal\pmb C}:\bm\varepsilon
このとき$ {\cal\pmb C}^\top={\cal\pmb C}であっても問題ない
必要十分条件を証明する方法はよくわからなかったtakker.icon
$ \mathrm D\bm\sigma:\bm\varepsilon=\mathrm D'w+\bm\varepsilon:\mathrm D\bm\sigma
$ =:\mathrm D'w+\mathrm D'\bar w
$ \bar wが存在する場合は、それを補ひずみエネルギ密度と呼ぶ
線型弾性体の場合は存在し、$ w=\bar wが成立する
等方弾性体の$ wを等方-偏差分解する
$ \bm\sigma:\bm\varepsilon=\left(\left({\cal\pmb D}+\frac13\bm I\bm I\right):\bm\sigma\right):\left(\left({\cal\pmb D}+\frac13\bm I\bm I\right):\bm\varepsilon\right)
$ = ({\cal\pmb D}:\bm\sigma):({\cal\pmb D}:\bm\varepsilon)+\frac13({\rm tr}\bm\sigma)({\rm tr}\bm\varepsilon)
$ \because{\cal\pmb D}:\bm I=\bm O
$ = 2G({\cal\pmb D}:\bm\varepsilon):({\cal\pmb D}:\bm\varepsilon)+K({\rm tr}\bm\varepsilon)^2
$ \therefore w=\frac12K({\rm tr}\bm\varepsilon)+G({\cal\pmb D}:\bm\varepsilon):({\cal\pmb D}:\bm\varepsilon)
$ =:w_e+w_s
$ w_e：体積ひずみエネルギ密度
$ w_s：剪断ひずみエネルギ密度
等方ひずみエネルギ密度と偏差ひずみエネルギ密度のほうが実態にあっていると思うtakker.icon
$ w_sは偏差第2不変量$ J\!J_{\bm\sigma}で表せる
$ w_s=\frac14\frac1G({\cal\pmb D}:\bm\sigma):({\cal\pmb D}:\bm\sigma)
$ =-\frac12\frac1GJ\!J_{\bm\sigma}
$ = \frac34\frac1G{\tau_{oct}}^2
$ \tau_{oct}：八面体剪断応力
$ = \frac16\frac1G{\bar\sigma}^2
$ \bar\sigma：Misesの相当応力
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